Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскотью основание пирамиды угол 45°. Найти высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.

Правильная пирамида SABCD, значит основание  ABCD- квадрат, у которого O- точка пересечения диагоналей (центр описанной окружности)Т.к. боковое ребро  SA обазует с плоскостью основания

[latex] alphaа = frac{(n-2)*180}{n} = frac{(4-2)*180}{4} =90а[/latex][latex]h=sin frac{ alpha }{2} *b=sin45*b= frac{ sqrt{2} }{2} *4=2 sqrt{2} [/latex]Радиус описанной окружности основания[latex]R=cos45*b=2 sqrt{2} [/latex]Определим сторону основания[latex]a=2R*cos frac{180а}{n} =2R*cos45=2*2 sqrt{2} * frac{ sqrt{2} }{2} =4[/latex]Периметр основания[latex]P=a*n=4*4=16[/latex]Радиус вписанной окружности основания[latex]r= frac{a}{2} =2[/latex]По т. Пифагора определим апофему[latex]f= sqrt{h^2+r^2} = sqrt{8+4} =2 sqrt{3} [/latex]Тогда площадь боковой поверхности[latex]S(6ok)= frac{p*f}{2} = frac{16*2 sqrt{3} }{2} =16 sqrt{3} [/latex]Ответ: h = 2√2; S(бок)=16√3