Решить с объяснением:[latex] sqrt[3]{x+5} + sqrt[3]{x+6} = sqrt[3]{2x+11} [/latex]

Красивое задание.Не  трудно убедится чтокорень  x=-11/2Является решением подставим его.∛(-11/2+5)+∛(-11/2+6)=∛-11+11-1/∛2 +1/∛2=0 верноТеперь можно поделить обе части уравнения:на ∛(2x+11) Конечно в этом случае уравнение будет не совсем равносильным   в плане что мы теряем решение 2x+11=0x=-11/2 Но  мы взяли на ус  что этот корень есть. Поэтому остальное  нам не важно.  Тк  остальные корни сохранились.∛(x+5)/(2x+11) +∛(x+6)/(2x+11)=1Сделаем замены: ∛(x+5)/(2x+11)=a ∛(x+6)/(2x+11)=bОткуда a+b=1a^3+b^3=2x+11/2x+11=1a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab )тк (a+b)=1a^2-ab+b^2=1b=1-aa^2-a(1-a)+(1-a)^2=1a^2-a+a^2+a^2-2a+1=13a^2-3a=0a(a-1)=0a=0a=1x+5=0x=-5x+5=1x=-4 но этот корень не  подходитНО не будем забывать про симетрию выражения  откуда   и вылезла ошибкаa^2+b^2-ab=0Подставимa=b-1То в  силу симетрии получим похожее уравнение:b^2-b=0b(b-1)=0то  x+6=0x=-6x+6=1x=-5Ответ: x=-5   x=-6  x=-11/2

[latex] sqrt[3]{x+5} + sqrt[3]{x+6} - sqrt[3]{2x+11} =0[/latex]Пусть [latex] sqrt[3]{x+6} =a;[/latex]  [latex] sqrt[3]{x+5} =b[/latex]  [latex] sqrt[3]{2x+11} =c[/latex]Имеем[latex]b+a-c=0[/latex]Каждое заменную подставим[latex] left { {{sqrt[3]{x+6 }=a} atop { sqrt[3]{x+5}=b }}atop { sqrt[3]{2x+11}=c} ight. o left { {{x+6=a^3} atop {x+5=b^3}}atop {2x+11=c^3}} ight. [/latex]Также выражаем а[latex]b+a-c=0o a=-b+c[/latex]Подставим[latex] left { {{x+6=(-b+c)^3} atop {x+5=b^3}}atop {2x+11=c^3}} ight. [/latex]Из уравнения 2 выразим переменную х[latex] left { {{x+6=(-b+c)^3} atop {x=b^3-5}}atop {2x+11=c^3}ight. [/latex]Также подставим вместо х[latex] left { {{(b^3-5)+6=(-b+c)^3} atop {x=b^3-5}}atop {2(b^3-5)+11=c^3} ight. o left { {{b^3+1=-(b-c)^3} atop {2b^3+1=c^3}}atop {x=b^3-5} ight. o left { {{2b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+1=0} atop {x=b^3-5}}atop {2b^3-c^3+1=0} ight. [/latex]Имеем[latex] left { {{2b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+1-(2b^3-c^3+1)=0} atop {x=b^3-5}}atop {2b^3-c^3+1=0}ight. [/latex]Имеем уравнение[latex]-3b^2c+3bc^2=0 \ -3*0c+0=0 o2b eq 0 \ -3 frac{c}{b} +3 (frac{c}{b} )^2=0[/latex]Пусть [latex] frac{c}{b} =t[/latex][latex]-3t+3t^2=0|:(-3) \ t(t-1)=0 \ t_1=0 \ t_2=1[/latex]Имеем что [latex] left[egin{array}{ccc}c=0;\c=b\b=0end{array}ight[/latex]Если c=0[latex]2b^3+1=0 \ b^3=- frac{1}{2} \ b=- frac{ sqrt[3]{4} }{2} o x=(- frac{ sqrt[3]{4} }{2} )^3-5= -frac{11}{2} [/latex]Если c=b[latex]2b^3-c^3+1=0 o 2c^3-c^3+1=0 \ c^3+1=0 \ c=-1 \ x=c^3-5 o x=-6[/latex]Если b=0[latex]2*0-c^3+1=0 \ -c^3+1 o c=1 \ x=-5[/latex]Ответ: [latex]x=- frac{11}{2} ;x=-6;x=-5[/latex]