В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана BM пресекаются в точке K. Отношение стороны AC к AB = 5/8. Найти отношение площади треугольника ABK к площади треугольника BKP.

Проведем из вершины [latex]C[/latex] , отрезок    [latex]CL[/latex] и так что бы он проходил через точку   [latex] K[/latex].  По теореме Чевы   [latex]frac{CM}{MA}*frac{AL}{LB} * frac{BP}{PC}=1\ [/latex] так как  [latex]AP[/latex] биссектриса , а по свойству [latex] frac{AC}{AB}=frac{PC}{BP}=frac{5}{8}[/latex]. Так как [latex]BM[/latex] медиана , то      [latex]frac{CM}{MA}=1[/latex]  [latex]frac{AL}{LB}=frac{5}{8}[/latex]  По теореме  Ван Обеля   [latex] frac{AK}{KP}=frac{AM}{MC}+frac{AL}{LB}\ frac{AK}{KP}=frac{13}{8}\ [/latex]    Пусть угол  [latex]BAP=a[/latex]  [latex]S_{BAP}=frac{AB*AP*sina}{2}\ S_{ABK}=frac{AB*frac{13}{21}AP*sina}{2}\ S_{BKP}=S_{BAP}-S_{ABK} = frac{frac{8AB*AP*sina}{21}}{2}\\ frac{S_{ABK}}{S_{BKP}}=frac{13}{8}[/latex]         Ответ [latex]frac{13}{8}[/latex]