Около трапеции KLMN описана окружность, причём основание KN является её диаметром. Известно, что KN=4,LM=2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS:SN=1:3. Найдите площадь треугольника STL.

  Так как по условию около трапеций можно описать окружность , то следовательно трапеций равнобедренная . Проведем  из  точки [latex]O[/latex]-центра окружности радиус  к хорде   [latex]LM[/latex]     .    Тогда угол  [latex]LTM=30а[/latex] так как она опирается на ту же дугу что центральный угол [latex]LOM[/latex] который равен ее половине [latex]60а[/latex] , так как [latex]OL=OM=2=LM[/latex] правильный треугольник . Заметим что [latex]LS[/latex] медиана     [latex]KS=OS=1[/latex] , треугольник [latex]LSO[/latex] прямоугольный, тогда    [latex] LS=sqrt{2^2-1^2}=sqrt{3}[/latex] .  По свойству хорд получаем  [latex]TS*SM=KS*SM\ TS*SM=3\ SM=sqrt{2^2+sqrt{3}^2}=sqrt{7}\ [/latex]           [latex] TS=frac{3}{sqrt{7}}[/latex]   [latex]TL^2+frac{9}{7}-2TL*frac{3}{sqrt{7}}cos30=3\ TL=frac{4sqrt{7}}{sqrt{3}}\ S_{STL} = frac{frac{4sqrt{7}}{sqrt{3}}*frac{3}{sqrt{7}}}{2}*frac{1}{2} = frac{3}{sqrt{3}}=sqrt{3}[/latex]