На средней линии трапеции ABCD  с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Проведем через точку F высоту трапеции h. Высота h делится точкой F пополам, т.к. располагается на средней линии, а средняя линия делит стороны трапеции пополам. Таким образом получается, что высота обоих треугольников равна h/2. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание треугольника. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. SBFC=(h/2)*BC/2 SAFD=(h/2)*AD/2 SBFC+SAFD=(h/2)*BC/2+(h/2)*AD/2=(h/2)(BC+AD)/2=(h*(BC+AD)/2)/2=SABCD/2 ч.т.д.