Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро образует с её основанием угол 45 градус. Найти обьём пирамиды

Т.к. SABC-правильная треугольная пирамида, в основании правильный треугольникV=1/3*Sосн.*HSосн.=(а²√3)/4 (эта формула площади только для правильного треугольника)Если вокруг треугольника описать окружность, то мы найдем радиусR=[latex] frac{a}{ sqrt{3} } [/latex]=AOугол SAO=45 градусов, cosA=[latex] frac{AO}{AS} [/latex], AS=[latex] frac{AO}{cos45} [/latex]=[latex] frac{a}{ sqrt{3} } [/latex]/[latex] frac{ sqrt{2} }{2} [/latex]=[latex] frac{a*2}{ sqrt{3}* sqrt{2} } [/latex]=[latex] frac{2a}{ sqrt{6} } [/latex]OS-высота  пирамиды и т.к. она правильная то попадает в центр треугольника и центр описанной окружноститреугольник ASO-прямоугольный, то по т. Пифагора OS=[latex] sqrt{ (frac{2a}{ sqrt{6} }) ^{2}-( frac{a}{ sqrt{3} }) ^{2} } = sqrt{ frac{4a ^{2} }{6}- frac{ a^{2} }{3} }= sqrt{ frac{2a ^{2} }{3}- frac{a ^{2} }{3} }= sqrt{ frac{a ^{2} }{3} }= frac{a}{ sqrt{3} } [/latex]V=[latex] frac{1}{3}* frac{ a^{2} sqrt{3} }{4} * frac{a}{ sqrt{3} } = frac{a ^{3} }{12} [/latex]