Найдите z6 в показательной формеz = 1/2 + i [latex]Найдите z6 в показательной форме z = 1/2 + i корень из 3 /2

[latex]z=frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}[/latex]По формуле Муавра[latex]z=ho(cosvarphi+isinvarphi)[/latex]Здесь [latex]ho=sqrt{(frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}[/latex][latex]ho=sqrt{frac{1}{4}+frac{3}{4}}[/latex][latex]ho=1[/latex] В данном случае формула принимает вид[latex]z=cosvarphi+isinvarphi[/latex]Теперь вычислим [latex]cosvarphi[/latex][latex]cosvarphi=frac{frac{1}{2}}{ho}[/latex][latex]cosvarphi=frac{frac{1}{2}}{1}[/latex][latex]cosvarphi=frac{1}{2}[/latex][latex]varphi=pmfrac{pi}{3}+2pi*n,quad nin Zquad (1)[/latex]То же самое с синусом[latex]sinvarphi=frac{frac{sqrt{3}}{2}}{ho}[/latex][latex]sinvarphi=frac{sqrt{3}}{2}[/latex][latex]varphi=(-1)^kfrac{pi}{3}+pi*k,quad kin Zquad(2)[/latex]Учитывая, формулы (1) и (2) получаем, что угол [latex]varphi[/latex] может принадлежать только первой четверти.То есть [latex]varphi =frac{pi}{3}+2pi n,quad nin Z[/latex] В данном случае подставим в формулу Муавра[latex]z=e^{ifrac{pi}{3}}[/latex][latex]z^6=e^{6*ifrac{pi}{3}}[/latex][latex]z^6=e^{2pi i}[/latex]По формуле Муавра[latex]e^{2pi*i}=cos(2pi)+isin(2pi)=1+i*0=1[/latex]Значит [latex]z^6=1[/latex].Ответ: 1.