Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой равна 8/3, а сумма прогрессии, составленной из квадратов ее членов, в 8 раз больше.

Пусть [latex] b_{1}; b_{2}=b_{1}q; b_{3}=b_{1}q^{2}; b_{4}=b_{1}q^{3}, ...[/latex] - исходная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна[latex]S= frac{b_{1}}{1-q}= frac{8}{3}[/latex]Рассмотрим прогрессию, составленную из квадратов ее членов:[latex]b_{1}^{2}; b_{2}^{2}=(b_{1}q)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}; b_{3}^{2}=(b_{1}q^{2})^{2}=b_{1}^{2}q^{4}; ...[/latex]Она тоже является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом [latex]b_{1}^{2}[/latex] и знаменателем [latex]q^{2}[/latex]Значит, ее сумма вычисляется по формуле:[latex]S_{1}=frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=frac{64}{3}[/latex]Получаем систему уравнений[latex] left { {{frac{b_{1}}{1-q}= frac{8}{3}} atop {frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=frac{64}{3}}} ight. [/latex][latex] left { {{b_{1}=frac{8}{3}(1-q)} atop {3b_{1}^{2}=64(1-q^{2})}} ight. [/latex]Подставим 1-е во 2-е[latex]3* frac{64}{9}*(1-q)^{2}=64(1-q^{2})[/latex][latex] frac{1}{3}*(1-q)^{2}=(1-q)(1+q)[/latex][latex] frac{1}{3}- frac{1}{3}q=1+q[/latex][latex] frac{4}{3}q=- frac{2}{3}[/latex][latex]q=- frac{1}{2}[/latex]Значит, [latex]b_{1}=frac{8}{3}(1-q)=frac{8}{3}(1+frac{1}{2})=frac{8}{3}* frac{3}{2}=4[/latex][latex]b_{1}=4; b_{2}=4*(-frac{1}{2})=-2; b_{3}=4*(-frac{1}{2})^{2}=1; ...[/latex] - искомая прогрессия