Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - R. 

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:[latex]a^2+b^2=c^2[/latex]Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:[latex]a^2+b^2=(2R)^2 \ a^2+b^2=4R^2[/latex]Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:[latex]a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab \ a^2+b^2+2ab=4R^2+ frac{4ab}{2}[/latex]Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:[latex](a+b)^2=4R^2+4S \ a+b=2 sqrt{ R^2+S} [/latex]Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:[latex]S= frac{a+b+c}{2}cdot r[/latex]Подставим вместо а+b и с известные выражения:[latex]S= frac{2 sqrt{ R^2+S}+2R}{2}cdot r[/latex]Выполняем преобразования:[latex] frac{S}{r} = sqrt{ R^2+S}+R \ frac{S}{r} -R= sqrt{ R^2+S} \ [/latex]Возведем обе части в квадрат:[latex]frac{S^2}{r^2}- frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S [/latex]R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:[latex] frac{S}{r^2}- frac{2R}{r} =1[/latex]Домножаем на r:[latex]S-2Rr =r^2 \ Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)[/latex]Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)Ответ: 2Rr+r²

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой: Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам. Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами: [latex]a[/latex] [latex]b[/latex] [latex]c=2R[/latex] Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты: [latex]a^2+b^2=c^2=4R^2[/latex] Так как площадь прямоугольного треугольника равна: [latex]S=frac{ab}{2}[/latex] получаем [latex]ab=2S[/latex] тогда [latex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S[/latex] Получаем: [latex]a+b=sqrt{4R^2+4S}[/latex] Зная, что площадь равна: [latex]S=pr=frac{(a+b+c)}{2}*r[/latex] Получаем: [latex]a+b+c=frac{2S}{r}[/latex] тогда получаем: [latex]a+b=sqrt{4R^2+4S}[/latex] Прибавим [latex]c[/latex] с обеих сторон: [latex]a+b+c=sqrt{4R^2+4S}+c[/latex] т.к [latex]c=2R[/latex] Получаем: [latex]a+b+c=sqrt{4R^2+4S}+2R[/latex] так как [latex]a+b+c=frac{2S}{r}[/latex] получаем: [latex]sqrt{4R^2+4S}+2R=frac{2S}{r}[/latex] [latex]sqrt{4R^2+4S}=frac{2S}{r}-2R[/latex] [latex]4R^2+4S=(frac{2S}{r}-2R)^2[/latex] [latex]4R^2+4S=frac{4S^2}{r^2}-frac{8SR}{r}+4R^2[/latex] [latex]4S=frac{4S^2}{r^2}-frac{8SR}{r}[/latex] Делим все на [latex]4S[/latex]: [latex]1=frac{S}{r^2}-frac{2R}{r}[/latex] [latex]r^2=S-2Rr[/latex] Откуда получаем: [latex]S=r^2+2Rr[/latex] Ответ: [latex]S=r^2+2Rr[/latex]