В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Поскольку призма вписана в цилиндр то высоты обоих H одинаковы. Т. к. призма правильная, то площадь ее поверхности равна:[latex]S_{p} = 3aH \[/latex]Далее площадь поверхности цилиндра равна:[latex]S_{c} = 2 pi RH[/latex]Поскольку у обоих одинаковые высоты, то мы можем приравнять их сначала выразив высоты обоих.:[latex]H_{1} = frac{S_{c}}{2 pi R} \ H_{2} = frac{S_{p}}{3a}[/latex]Теперь приравняем их:[latex] frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{S_{p}}{3a}[/latex]Далее для описанной окружности около треугольника (основая призмы) с радиусом R, длина стороны равна:[latex]a = frac{3R}{sqrt{3}}[/latex]Теперь мы можем подставить это вместо "a" в нашем равенстве:  [latex]frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{S_{p}}{3*frac{3R}{sqrt{3}}} \ frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{S_{p}*sqrt{3}}{9R} \ frac{S_{c}}{2 pi R} = frac{5sqrt{3}}{9R} \ frac{S_{c}}{2 pi} = frac{5sqrt{3}}{9} \ S_{c} = frac{10 pisqrt{3}}{9}[/latex] Решал быстро, возможны ошибки :)