Будет ли величина полезной механической работы отлична от нуля, если подъемный кран поднимает с земли груз

Конечно будет, опираясь на формулу работы A=F*S   F - сила которую надо приложить к грузу, а S - путь который пройдет тело над землей, так вот если хоть на метр поднимут груз то неприменно совершится работа 

Да будет. Величина полезной механической работы в этом случае численно равна работе по преодолению силы тяжести, т.е. mgh, значит, если груз будет поднят хоть на незначительную высоту, то в этом случае Ап > 0.