Докажите, что квадратное уравнение (где"- квадрат, т.е. ах в квадрате) ах"+bx-c=0 имеет ровно один корень на промежутке [0;1], если а, b и с - это длины сторон треугольника.

Если а,б и с - стороны треугольника, то это положительные числа. График квадратного уравнения  - парабола, ветками вверх (в даном случае), с - число на оси у, которое показывает точку, где парабола пересекает эту ось, т.е. координаты этой точки (0;с). В даном случае, с  больше 0. В общем, парабола поднята над осью х, и касается оси х в 1 точке, т.е. это и есть 1 корень

а, b и с - это длины сторон треугольника., значит выполняются неравенства: a+b>c>0, a+c>b>0, b+c>a>0 a^2+2ac+c^2>b^2   ах^2+bx-c=0 D=b^2+4ac x1=(-b+корень(b^2+4ac))/(2a)>=(-b+b)/(2a)=0   нужно еще доказать что x1<=1 т.е. (-b+корень(b^2+4ac))/(2a)<=1 -b+корень(b^2+4ac)<=2a корень(b^2+4ac))<=2a+b (обе части неотрицательны, поднесем к квадрату, получим равносильное неравенство) b^2+4ac<=4a^2+4ab+b^2 4ac<=4a^2+4ab ac-ab<=a^2 c-b<=a c<=a+b (что верно как неравенство треугольника)   далее теперь осталось доказать что второй корень не попадает в промежуток [0;1] докажем что x2<0 x2=(-b-корень(b^2+4ac))/(2a)<0 , что очевидно так в знаменателе неотрицательное число 2а, а в числителе отрицательное. Доказано