На какую цифру оканчивается число 53 в степени 2012?

Анализируем: 53^1 - оканчивается на 3 53^2 - на 9 53^3 - на 7 53^4 - на 1, далее все повторяется.   Разложим степень 2012 на множители 2012 = 4 * 503 503 = 4 * 125 + 3 125 = 4 * 31 + 1 31 = 4 * 7 + 3 7 = 4 + 3 Получаем: [[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4 Опираемся на анализ выше: 53^4 оканчивается на 1, 53^3 - на 7. Следовательно, произведение 53^4 * 53^3 оканчивается на 7. 7^1 - оканчивается на 7 7^2 - на 9 7^3 - на 3 7^4 - на 1. (53^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1 ((53^4 * 53^3)^4 * 53^3) - оканчивается на 7 ((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 - оканчивается на 1 [((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53] - оканчивается на 3 [((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 - оканчивается на 1 [[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3] - оканчивается на 7 [[((53^4 * 53^3)^4 * 53^3)^4 * 53]^4 * 53^3]^4 - оканчивается на 1 Следовательно, 53^2012 оканчивается на 1