Определить площадь,ограниченную параболой y=x² +1 и прямой x+y=3 

x^2+1=3-x. Решив получаем x = -2 и x = 1. y=3-x, y=x^2+1 получаем: [latex]S=intlimits^b_a {[(3-x)-(x^2+1)]} , dx=intlimits^1_{-2} {2-x-x^2} , dx=[/latex] [latex]2-frac{1}{2}-frac{1}{3}-(-4-2+frac{8}{3})=4,5[/latex]

Чтобы найти площадь нужно найти: 1 -пределы интегрирования 2 - какой из графиков проходит выше. Для определения пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков функций y₁ = x² +1 и y₂ =3 - х. Приравняем правые части этих функций x² +1 = 3 - х получим уравнение x² + х - 2 = 0 D = 1 + 8 = 9 √D = 3 x₁ = (-1 - 3):2 = -2 x₂ = (-1 + 3):2 = 1 Итак, пределы интегрирования: нижний х = -2, верхний х = 1 Теперь рассмотрим неравенство x² +1 < 3 - х x² + х - 2 < 0 График функции f(x) = x² + х - 2 представляет собой квадратную параболу веточками вверх, поэтому решением неравенства x² + х - 2 < 0 будет интервал между корнями x₁ = -2 и x₂ = 1. Таким образом, в интервале между пределами интегрирования график функции y₂ =3 - х проходит выше графика функции y₁ = x² +1 . И площадь находится как определённый интеграл ∫(y₂ - y₁)dx в пределах от -2 до 1. ∫(y₂ - y₁)dx = = ∫(3 - х )-(x² +1)dx = = ∫(-x² - х + 2) dx = = -x³/3 - х²/2 + 2х Подставим пределы S = -1³/3 - 1²/2 + 2·1 -(-(-2)³/3 - (-2)²/2 + 2·(-2) = = -1/3 - 1/2 + 2 -( 8/3 - 2 - 4)= = -1/3 - 1/2 + 2 - 8/3 + 2 + 4 = = -9/3 - 1/2 + 8 = = -3 - 0,5 + 8 = = 4,5 Ответ: S = 4,5