Среднее арифметическое корней уравнения cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х), принадлежащему отрезку [-π;2π], равно.....

 Решим задачу пошагово: cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х) cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = -cos²(π/2-2х) cos²(π/2-2х) = [latex]sin^{2}2x[/latex] (По формуле приведения). cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = -[latex]sin^{2}2x[/latex] cos²2x - 1 = (cos2x - 1)(cos2x + 1). (cos2x - 1) = 1 - 2[latex]sin^{2}x[/latex] - 1 = - 2[latex]sin^{2}x[/latex]. (cos2x + 1) = 2[latex]cos^{2}x[/latex] - 1 + 1 = 2[latex]cos^{2}x[/latex]. (cos2x - 1)(cos2x + 1) = - [latex]2sin^{2}x2cos^{2}x[/latex] = -[latex]4sin^{2}xcos^{2}x[/latex] =-[latex](2sinxcosx)^{2}[/latex]  = -[latex]sin^{2}2x[/latex]. После подстановки найденных тождеств, получим: cos(х-π/3) - [latex]sin^{2}2x[/latex] = -[latex]sin^{2}2x[/latex]. cos(х-π/3) - [latex]sin^{2}2x[/latex]  + [latex]sin^{2}2x[/latex] = 0. cos(х-π/3) = 0. cos(х-π/3) = cos(π/2 + πn), где n принадлежит Z. х-π/3 = π/2 + πn, где n принадлежит Z. x = π/2 + πn + π/3, где n принадлежит Z. x = 5π/6 + πn, где n принадлежит Z. Найдём корни, принадлежащие отрезку [-π;2π], для этого составим следующее двойное неравенство: -π >= 5π/6 + πn <= 2π, знаки >= и <= - это соответственно больше или равно и меньше или равно.  -π - 5π/6 >=  πn <= 2π - 5π/6  - 11π/6 >= πn <= 7π/6 - 11/6 >= n <= 7/6 - 1 >= n <= 1. Теперь находим корни. При n = -1, x = - 4π/6. При n = 1, x = 11π/6. При n = 0, x = 5π/6. Найдём их среднее арифметическое: (- 4π/6 + 11π/6 + 5π/6)/3 = 2π/3. Ответ: 2π/3