В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусам. Найлите боковое ребро пирамиды.

Пусть в основании лежит квадрат ABCD, вершина пирамиды S, высота SO. Построим угол между (ABS) и (ABC). Проведем в (ABS) SH перпендикулярно AB. Тогда искомый угол в 60 градусов - угол SHO. В треугольнике SHO - прямоугольный, SH=HO, cos60=3:0,5=6. В треугольнике BHS - прямоугольный. BS находим по теореме Пифагора: BS*BS= 3*3 + 6*6=45. Значит, BS= 3√5. Ответ: 3√5.

Проведём апофему  А - высоту треугольной грани пирамиды. Её проекция Апр равна половине стороны  а основания Апр =  а/2 = 3см. Треугольник, образованный высотой Н пирамиды, апофемой А и проекцией апофемы Апр, является прямоугольным, с углом при основании 60гр. Апофема А = Апр / cos 60 = 3/ 0.5 = 6(cм). Боковое ребро пирамиды L, апофема А и половина стороны основания тоже образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: L^2 = A^2 + (0.5a)^2 = 36 + 9 = 45 Откуда L = sqrt(45) = 3sqrt(5)