В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т.д. найдите сумму длин всех таких окружностей.

Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: [latex]d = a cdot sqrt{2}[/latex], где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: [latex]d = 2 cdot R[/latex]. Тогда выразим длину стороны квадрата: [latex]2 cdot R = a cdot sqrt{2} \a = frac{2 cdot R}{sqrt{2}}[/latex]   Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: [latex]r = frac{a}{2}[/latex]. Подставив предыдущую формулу в данную, получим: [latex]r = frac{R}{sqrt{2}}[/latex].   Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент [latex]r_1 = 4[/latex], знаменатель прогресии [latex]q = frac{1}{sqrt{2}}[/latex]. Сумма всех радиусов равна [latex]S_r = frac{r_1}{1 - q } = frac{4}{1 - frac{1}{sqrt{2}}}[/latex].   Тогда сумма длин всех окружностей: [latex]C_s = 2 cdot pi cdot S_r = \= 2 cdot pi cdot frac{4}{1 - frac{1}{sqrt{2}}} = \ = frac{8 cdot pi cdot sqrt{2}}{sqrt{2} - 1} = \ = 8 cdot pi cdot sqrt{2} cdot (sqrt{2} + 1)[/latex]