Дима меняет число, записанное на доске, по следующим правилам: если число делится ??а 3, то он вычитает из него 2; если число дает остаток 1 при делении на 3, то он вычитает из него 1; если число дает остаток 2 при делении на 3, то он прибавляет к нему 2. Дима начинает с числа 1001. Какое число будет на доске после 500 таких операций?

Действие 1. Т.к. 1001 при делении на 3 дает в остатке 2, то в итоге получаем: 1001+2=1003.2.1003 дает при делении на 3 в остатке 1: 1003 - 1 = 1002.3. 1002 --------------------------"------------------- 0: 1002 -2 = 1000.4. 1000 --------------------------" ------------------ 1: 1000 - 1 = 999.5. 999   --------------------------" ------------------- 0:  999  - 2 = 997 и т.д., т.е., начиная со 2-го действия за каждые 2 операции из остатка вычитается по 3.  Тогда остается сделать еще 495 операций и вычесть 297 двоек и 298 единиц, т.к. в четной операции вычитается 1, а в нечетной 2.    Тогда получим: 997 - (297*2) - 298*1 = 105.