В трапеции ABCD основания AD = 4, BC = 2. Точка K принадлежит прямой AD, прямая CK делит трапеЦию на части, площади которых относятся как 1:3 (вершина B принадлежит меньшей части). CK пересекает AB в точке M. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции, проходящего через точку M

Пусть h - высота трапеции. Тогда её средняя линия равна 3, а площадь равна 3h. Диагональ AC делит площадь трапеции в отношении 1:2, считая от точки B. Значит, площадь треугольника BMC, равная четвёртой части площади трапеции, то есть 3h/4, будет меньше площади BAC, и точка M лежит на отрезке AB. Высота треугольника MBC, проведённая из M, находится через площадь и основание, и она равна 3h/4. Значит, расстояние от M до BC втрое больше, чем расстояние от M до AD. Отсюда следует, что AM равно AB/4. Поэтому длина отрезка, который надо найти, есть средняя линия трапеции, у которой одно основание есть AD равно 4, а другое совпадает со средней линией исходной трапеции. И тогда, по формуле для длины средней линии, получится (3+4)/2 равно7/2.