Ребра правильного тетраэдра DABC равны А,К-середина ВС Найти:1) Вектор DA*AK 2)DA*BC

1) все грани тетраэдра будут правильными треугольниками AK⊥BC; ∠KAB = ∠KAC; = 30° (медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой) ∠(DA, ABC) = ∠DAK; a) по теореме о трех косинусах cos(∠DAK) = cos(∠DAC)/cos(∠KAC) =1/√3 cos(вектор_DA, вектор_AK) = cos(180 − ∠DAK) = −cos(∠DAK) = −1/√3 скалярное произведение вектор_DA · вектор_AK = |DA|·|AK|·cos(вектор_DA, вектор_AK) = −a²/√3 b) AT||BC; AT = BC = a; ∠KAT; = 30 + 60 = 90° по теореме о трех косинусах cos(∠DAT) = cos(∠KAT)·cos(∠DAK) = 1/√6 cos(вектор_DA · вектор_BC) = cos(вектор_DA · вектор_AT) = cos(180 − ∠DAT) = −cos(∠DAT) = −1/√6 скалярное произведение вектор_DA · вектор_BC = |DA|·|BC|·cos(вектор_DA · вектор_BC) = −a²/√6 2) DA1C1C не является гранью если там DD1C1C a − ребро куба AT||BD1; AT = BD1; AT² = BD1² = 3a² AM² = a² + (½a)² + (½a)² = (3/2)·a² TM² = ((3/2)·a)² + (½a)² = (5/2)·a² по теореме косинусов TM² = AM² + AT² - 2·AM·AT·cos(∠TAM) cos(∠TAM) = (√2)/3 cos ∠(вект_AM, вект_BD1) = cos(∠TAM) = (√2)/3 > 0 угол острый, т. к. косинус положительный