Мы этого ещё не проходили, но очень хочется узнать ход работы. Вот например, считаю на калькуляторе √4 равен 2, и поевляется такое ощущение, что 4 делят на два и всё. Но потом проверяю другие числа и совсем не так.

Знак "корень" означает, что необходимо подобрать такое число, которое при умножении само на себя дает то число, что стоит под знаком "корня". Ваш пример читается как "корень из четырех" равен двум. 2 умножить на 2 будет равно 4. Корень из девяти, к примеру, будет равен 3, так как 3 умножить на 3 равно 9., а корень из 81 равен 9, так как 9 умножить на 9 равно 81. Вот так вот как-то.