На плоскости дан отрезок AB и на нём произвольная точка M. На отрезках AM и MB как на стОронах построены квадраты ACD и MBEF, лежащие по одну сторону от AB, и N - точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки M на отрезке AB каждая прямая MN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.

Пусть прямые AF и MN пересекают прямую BE в точках P и S соответственно, а BC пересекает MF в точке O. Докажем, что S - искомая. Из подобия треугольников BS/MO=BN/NO=PB/OF, т.е. BS/PB=MO/OF. Обозначим AB=a, MB=MF=x, тогда AM=AC=a-x, MO=MB·tg∠ABC=x(a-x)/a,OF= MF-OM=x-x(a-x)/a=x²/a,PB=AB·tg∠MAF=ax/(a-x).Таким образом, BS=PB·MO/OF=(ax/(a-x))·(x(a-x)/a)·(a/x²)=a. Итак, видим, что длина BS не зависит от положения точки M на отрезке AB, т.е. точка S - искомая.