На доске написано число 2016. Настойчивый одинадцатиклассник Олег пишет последоватЕльность, в которой каждое число равно сумме квадратов предыдущего : 2016, 41, 17, 50,... Какое число будет стоять в этой последовательности на 2016-м месте?

2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145,...Поскольку каждый следующий элемент однозначно определяется предыдущим, то как только в последовательности встретится число, которое уже было раньше, последоватеьлность с этого места начнет повторяться.  Такой момент наступает на 16-ом элементе: число 89 уже было на 8-м месте. Итак, до начала периодичности записано 7 элементов: 2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85,  а после этого последовательность из 8 элементов 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58  циклически повторяется. Т.к. 2016-7=2009=8*251+1, то после семи первых элементов в 2009 элементов укладывается 251 полный период длиной 8, и поскольку остаток равен 1, то 2016-ый элемент равен первому элементу в периоде, т.е. 89. Ответ: 89.