Задание №35: Найдите острый угол, если отношение периметра ромба к сумме диагоналей равно [latex]sqrt{3} [/latex]. А) [latex]30^{0} [/latex] Б) [latex]arcsin frac{1}{3} [/latex] В) [latex]45^{0} [/latex] Г) [latex]60^{0} [/latex] Д) [latex]arccos frac{1}{3} [/latex]

Пусть а - сторона ромба ABCD, α - искомый острый угол. Диагонали ромба AC и BD делят его на 4 равных треугольника. Рассмотрим треугольник ВОС: угол ВОС=α/2, так как диагонали ромба являются биссектрисами углов. Выражаем катеты через тригонометрические функции и гипотенузу - сторону ромба, обозначенную за а:[latex]BO=acosfrac{ alpha }{2} \ CO=asinfrac{ alpha }{2} [/latex]Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то сами диагонали будут равны [latex]2acos frac{alpha }{2}[/latex] и [latex]2asin frac{alpha }{2}[/latex]. Периметр ромба равен [latex]4a[/latex].Составляем заданное отношение:[latex] dfrac{4a}{2asin frac{ alpha }{2} +2acos frac{ alpha }{2} } = sqrt{3} \ dfrac{2}{sin frac{ alpha }{2}+cos frac{ alpha }{2}} = sqrt{3} \ sin frac{ alpha }{2}+cos frac{ alpha }{2}= frac{2}{ sqrt{3} } \ sin^2 frac{ alpha }{2}+cos^2 frac{ alpha }{2}+2sin frac{ alpha }{2}cos frac{ alpha }{2}=(frac{2}{ sqrt{3} } )^2 \ 1+sin alpha = frac{4}{ 3 } \ sin alpha = frac{1}{ 3 } \ alpha=arcsin frac{1}{ 3 } [/latex]Ответ: arcsin(1/3)