Найдите область определения выражения √(х-3)(х-5)+√(1-х)(7-х)

Такие задачи решаются довольно нудно.Область определения - это область допустимых значений  аргумента.В нашем случае под корнем не должно быть отрицательного числа. Другими словами, оба подкоренных произведения должны быть больше или равны нулю:(х-3)(х-5) ≥ 0 (1-х)(7-х) ≥ 0Это система неравенств. Решаем их. Удобно то, что левые части (квадратные трехчлены) представлены в виде произведений. Нет необходимости искать корни квадратных трехчленов.1. (х-3)(х-5) ≥ 0 Решаем методом интервалов.Корни х1 и х2 равны 3 и 5. Отмечаем корни на оси х. Получаем 3 интервала.        +                -              +-----------⊕-------------⊕--------------->              3                 5                  хНа самом правом интервале трехчлен будет положительным (очевидно, что при любых х > 5 трехчлен положительный), а в остальных интервалах знак трехчлена будет меняться при прохождении границы между интервалами.В качестве решения мы берем интервалы, где трехчлен положителен.А поскольку неравенства нестрогие, интервалы берем вместе с их границами (с самими корнями), где трехчлен обращается в нуль. Поэтому на чертеже точки не "пустые" (о), а "зачерненные" (⊕)x∈ (-∞, 3] ∪ [5, ∞) 2. (1-х)(7-х) ≥ 0Корни х1 и х2 равны 1 и 7. Отмечаем корни на оси х. Получаем 3 интервала.        +                -              +-----------⊕-------------⊕--------------->              1                 7                  хНа самом правом интервале трехчлен положителен (очевидно, что при любых х > 7 оба сомножителя отрицательны, но их произведение положительно), а в остальных интервалах знак трехчлена будет меняться при прохождении границы между интервалами.В качестве решения мы берем интервалы, где трехчлен положителен.А поскольку неравенства нестрогие, интервалы берем вместе с их границами (с самими корнями), где трехчлен обращается в нуль. Поэтому на чертеже точки не "пустые" (о), а "зачерненные" (⊕)x∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞)3. Теперь нам нужно объединить оба решения, поскольку нужно, чтобы оба корня извлекались из неотрицательного числа.Это проще сделать на координатной оси. Отмечаем оба множества на оси с помощью штриховки:x∈ (-∞, 3] ∪ [5, ∞) - штриховка \ (над осью)x∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞) - штриховка /////// (под осью)\\\\\\               \\\\\\\  --------⊕---------⊕----------⊕---------⊕------------->          1             3             5             7                   х //////////                                             /////////////////Наглядно видно, что оба условия выполняются там, где штриховки совпадают, налагаются друг на друга.Получаем х ∈ (-∞, 1] ∪ [7, ∞) Это и будет ответ.