Доказать методом математической индукции. Находил сумма ряда, заметил закономерность и пришел к такому утверждению, но доказать не могу.

Можно и индукцией доказать: База индукции: При n = 1: 1/(1*2) = 1/(1+1) - верно. Предположение индукции: Пусть при n = k верно следующее: 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) = k / (k+1) Индукционный переход: Докажем, что 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1) / (k+2) Заменим 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) на k / (k+1), так как мы предположили верность этого равенства. Тогда должно выполняться следующее: k / (k+1) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1) / (k+2) Упростим левую часть: k / (k+1) + 1/((k+1)(k+2)) = k*(k+2) / ((k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k^2+2k+1)/((k+1)(k+2))=(k+1)^2 / ((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2). (k+1)/(k+2) = (k+1)/(k+2) - тождество, ч.т.д.