Высота правильной треугольной пирамиды равна 6, двугранные углы при основании равны 30° .Найти площадь боковой поверхности.

Построим искомую пирамиду, основанием которой будет правильный треугольник АВС, а вершина - М. Точку пересечения медиан в АВС назовем О. По условию ОМ=6. рассмотрим медиану МК, которая проведена к стороне АС. Боковые грани пирамиды - равнобедренные треугольники. Боковая грань АМС наклонена к основанию АВС под углом 30°, МКО=30°. МКО - прямоугольный и имеет острый угол 30°. Значит гипотенуза МК в два раза больше катета ОМ. МК=12. ОК=6√3 Построим ОС и рассмотрим ОСК. Он прямоугольный и также имеет острый угол в 30°. Значит ОС=12√3. СК=ОС-ОК=144·3-36·3=324. СК=√324=18. АС=2СК=2·18=36. Вычислим боковую поверхность пирамиды, которая состоит их трех равных между собой граней. S=3·0,5·12·36=648 кв ед. Ответ: 648 кв.ед.