Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K , пересекает стороны угла в точках B и C . Найдите радиус окружности описанный около триугольника АВС

Если из точки B провести перпендикуляр к AB (или из точки С - перпендикуляр к AC) то он пересечет линию центров в точке E, и AE - диаметр D описанной вокруг ABC окружности. Легко видеть AB = D*cos(/2); = CAB; Площадь S = AB^2*sin()/2; S = r*(AB + BK) = r*AB*(1 + sin(/2)); r = 39 - радиус вписанной в ABC окружности. Аналогично S = *(AB - BK) = *AB*(1 - sin(/2)); = 42 - радиус вневписанной окружности. Отсюда sin(/2) = ( - r)/( + r); Если кому-то неизвестна связь между площадью и радиусом вневписанной окружности (то есть окружности, которая касается стороны a и продолжений двух других сторон) S = (p - a); то это выражение sin(/2) = ( - r)/( + r); легко увидеть непосредственно - если провести радиусы в точки касания, и из центра меньшей окружности провести прямую параллельно AB. Там получится прямоугольный треугольник с катетом - r гипотенузой + r и острым углом /2; Получилось AB^2*sin()/2 = r*AB*(1 + sin(/2)); D*cos(/2)*sin()/2 = r*(1 + sin(/2)); D*(cos(/2))^2 = r*(sin(/2) + 1)/sin(/2); D*(1 - (sin(/2))^2) = r*(sin(/2) + 1)/sin(/2); D*(1 - sin(/2)) = r*/sin(/2); или D*(1 - ( - r)/( + r)) = r*( + r)/( - r); 2*D = 4*R = ( + r)^2/( - r); R = (42 + 39)^2/(4*3) = 2523/4 = 630,75;