1. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений
Выше рассмотрены решения квадратных невырожденных систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и методом Крамера. Однако они не пригодны в тех случаях, когда квадратная система уравнений вырождена или когда система вообще не является квадратной.
В связи с этим перейдем к рассмотрению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, когда 
:
В данном случае матрица системы является прямоугольной, у нее нет определителя, и метод Крамера для решения системы не применим. Поэтому, прежде чем решать данную систему, рассмотрим две теоремы.
Возможно вы искали - Реферат: Решение систем дифференциальных уравнений
Теорема 1.1. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение .
Доказательство. Если ранг матрицы системы равен 
, то есть числу неизвестных, то строк у матрицы должно быть тоже . Следовательно, 
. Итак, по условию 
. Но тогда любая, не входящая в базисный минор, строка расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных строк и может быть обращена в ноль. То же самое происходит и с уравнением, соответствующим этой строке. Значит, исходная система эквивалентна уравнениям с коэффициентами из базисного минора. Остальные 
уравнений из системы можно убрать, так как они является линейной комбинацией оставшихся. Получаем квадратную невырожденную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными, которая согласно правилу Крамера имеет единственное решение, что и требовалось доказать.
Теорема 1.2. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений .
Доказательство. По условию система совместна и 
. Будем считать, что базисный минор 
расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы системы 
. Если это не так, то, переставляя строки и столбцы матрицы, можно получить нужный результат.
Минор будет иметь вид:
Похожий материал - Курсовая работа: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
.
Так как любая строка матрицы , не вошедшая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных, то ее можно обратить в ноль. Тогда, по аналогии с теоремой 1.1, из исходной системы можно убрать те уравнения, коэффициенты которых не попали в базисный минор. Следовательно, в ней останется 
линейных алгебраических уравнений и исходную систему можно записать в виде:
или
Очень интересно - Реферат: Решение уравнений в конечных разностях
Придавая неизвестным 
произвольные значения 
, получаем систему из уравнений с неизвестными:
Данная система является квадратной, ее определитель 
, поэтому с помощью метода Крамера находим единственное решение 
. Очевидно, задавая другие значения для , получим другие значения неизвестных .
Так как числа могут быть заданы произвольно, то число решений системы бесконечно. Какое-то одно решение будет иметь вид:
.
Вам будет интересно - Реферат: Решение уравнений с параметрами
Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными.
2. Система однородных линейных алгебраических уравнений
Важное место среди всех систем линейных алгебраических уравнений занимают однородные системы с произвольными 
и :
Данные системы всегда совместны, так как обязательно имеют решение вида 
, которое называется нулевым или тривиальным.
Похожий материал - Контрольная работа: Решение экономических задач
Если , то, согласно теореме 1.1, это решение будет единственным. В частности, в случае однородной невырожденной квадратной системы ее единственное решение будет тривиальным.
В случае, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то решений, согласно теореме 1.2, будет бесконечное множество. Пусть в этом случае матрицы - столбцы 
, 
,..., 
являются некоторыми решениями системы:
, 
,..., 
.
Тогда выражение 
будет называться их линейной комбинацией. Очевидно, что можно ввести понятие линейно зависимой и линейно независимой системы этих решений. Необходимо иметь в виду, что линейная комбинация решений системы линейных алгебраических уравнений также будет ее решением. Действительно,