Реферат « Введение в численные методы »
Тема: «Методы предварительных эквивалентных преобразований и итерационные методы с минимизацией невязки для решения СЛАУ»
1. Методы предварительных эквивалентных преобразований
1.1 Преобразование вращения
Следующий важный подход к решению алгебраических систем уравнений базируется на применении эквивалентных преобразований с помощью унитарных матриц, сводящем исходную матрицу к эквивалентной ей диагональной.
Смысл этого подхода состоит в том, чтобы последовательно, умножением слева и / или справа на специальные унитарные матрицы, превратить некоторые компоненты исходной матрицы в нуль.
Возможно вы искали - Реферат: Методы преобразования комплексного чертежа
Матрица S называется унитарной, если ее произведение со своей комплексно сопряженной равно единичной матрице. Это означает, что комплексно сопряженная матрица равна обратной матрице:
Известной унитарной матрицей является матрица вращения ,которая применяется для поворота на заданный угол вектора, принадлежащего некоторой плоскости, вокруг начала координат. В двумерном случае вектор 
поворачивается на угол 
путем умножения на матрицу
Чтобы сохранить эквивалентность результирующей матрицы при умножении ее на матрицу вращения, необходимо исходную матрицу умножать справа на 
и слева на 
. Умножение же матрицы вращения на вектор дает такой же по величине вектор, но повернутый на заданный угол.
Похожий материал - Дипломная работа: Методы приближённого решения матричных игр
Поворот вектора в многомерном пространстве на произвольный угол можно представить, как последовательность плоских вращений каждой проекции на некоторый угол. Если подобрать угол вращения так, чтобы в плоском повороте одну из проекций вектора совместить с координатной осью, то вторая проекция в этой плоскости становится равной нулю.
Частные повороты вектора в многомерном пространстве с помощью матрицы вращения можно выполнять, если ее расширить до матрицы размера 
следующим образом:
.
Индексы i, j обозначают матрицу вращения, поворачивающую вектор в плоскости 
на угол 
.
Теперь частное эквивалентное преобразование матрицы A вращением на угол 
записываются так:
Очень интересно - Курсовая работа: Методы решения алгебраических уравнений
.
Условие превращения в нуль ij- тых элементов симметричной матрицы A можно получить методом неопределенных коэффициентов на двумерной матрице:
.
.
Угол поворота, при котором 
, находится из уравнения
Вам будет интересно - Контрольная работа: Методы решения алгебраических уравнений
.
Разделив на 
и обозначив 
, 
, получим квадратное уравнение для тангенса требуемого угла поворота
.
Из двух решений для тангенса выбирается такое, чтобы 
. В этом случае 
. Подставив выражение для угла в соотношения для диагональных элементов, после тригонометрических преобразований получаются следующие формулы:
Похожий материал - Учебное пособие: Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
Для получения результирующей матрицы выполнять матричное умножение трех матриц совсем необязательно. Структура матриц вращения вызывает при умножениях изменение только тех элементов исходной матрицы, которые находятся на i- той и j- той строчках и на i- том и j- том столбцах. Изменения представляются суммами элементов, стоящих в строчках и столбцах, умноженных на синус или косинус угла в соответствии с формулами, где j>i :
преобразования строк – 
;
преобразование столбцов –
.
На пересечениях i -й строки и i- того столбца и j -й строки и j- того столбца располагаются соответственно вычисленные выше 
и 
, а на местах ij -того и ji -того элементов вставляются нули.