1 Введение
На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
Y
(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),
где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.
Возможно вы искали - Контрольная работа: Методы решения систем линейных уравнений
Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами
Краевые условия имеют вид:
U∙Y(0) = u,
V∙Y(1) = v,
где
Похожий материал - Контрольная работа: Методы статистического исследования
Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:
Y(x) = e
∙ Y(x
) + e
∙
e
∙ F(t) dt,
где
Очень интересно - Дипломная работа: Метризуемость топологических пространств
e= E + A(x-x) + A
(x-x)/2! + A
(x-x)/3! + …,
где E это единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:
K(x←x) = K(x - x) = e.
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
Вам будет интересно - Курсовая работа: Минимальные формы булевых многочленов
Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,
где Y*(x←x) = e∙e∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.
2 Случай переменных коэффициентов
Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.
Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):
Похожий материал - Контрольная работа: Минимизация неполностью определенных переключательных функций
e
= e
∙ e
∙ … ∙ e
∙ e
,
K(x
←x) = K(x←x
) ∙ K(x←x
) ∙ … ∙ K(x
←x
) ∙ K(x←x).
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:
K(x←x) = K(x
←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),