Введение. 3

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу. 5

§2. Основные теоремы операционного исчисления. 8

2.1 Свертка оригиналов.8

2.1 Свойство линейности.9

Возможно вы искали - Контрольная работа: Основные задачи вычислительной математики

2.2 Теорема подобия.9

2.3 Теорема запаздывания.10

2.4 Теорема смещения.10

2.5 Теорема упреждения.11

2.6 Умножение оригиналов. 11

Похожий материал - Контрольная работа: Основные понятия алгебры множеств

2.7 Дифференцирование оригинала. 11

2.8 Дифференцирование изображения. 12

2.9 Интегрирование оригинала. 12

2.10 Интегрирование изображения. 13

§3. Изображения простейших функций. 13

Очень интересно - Шпаргалка: Основные понятия математического анализа

§4. Отыскание оригинала по изображению.. 15

4.1 Разложение на простейшие дроби.15

4.2. Первая теорема разложения. 16

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 18

Приложение. 24

Введение

Вам будет интересно - Учебное пособие: Основные правила дифференцирования

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f ( t ) переходят к уравнению относительно другой функции F ( p ), называемой изображением f ( t ) . Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F ( p ) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Похожий материал - Контрольная работа: Основы высшей математики

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

1) таблица оригиналов и соответствующих им изображений;

2) знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

Определение 1 .Будем действительную функцию действительного аргумента f (t ) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям: