1. Умови оптимальності у неавтономних системах керування
У загальному випадку неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежать явно від часу 
, тобто закон руху має вигляд:
, (1)
а цільовий функціонал дорівнює
. (2)
Возможно вы искали - Реферат: Оптические средства обнаружения
Тут функції 
і 
– неперервні по сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних 
, 
, 
.
Також вважатимемо, що момент часу 
, який відповідає початковому стану 
, відомий, а момент часу 
проходження через кінцеву точку 
не заданий і повинен бути знайдений, тобто сформульована задача – це задача з вільним часом.
Поставлена задача може бути зведена до автономної задачі введенням додаткової змінної 
. До закону руху при цьому додається рівняння
,
а до початкових умов – співвідношення 
.
Похожий материал - Реферат: Оптические характеристики материалов для изготовления оптических деталей
Тепер систему (2) можна переписати у вигляді:
(3)
а функціонал 
дорівнюватиме
, (4)
де 
(відповідно до доданого у початкову систему рівняння).
Очень интересно - Курсовая работа: Оптические цифровые телекоммуникационные системы
Отже, неавтономну 
-вимірну задачу було зведено до автономної задачі з розширеним фазовим простором. У новій задачі потрібно знайти оптимальну траєкторію, що поєднує точку 
розширеного фазового простору з деякою точкою 
на прямій, яка проходить через точку 
паралельно осі 
. Оскільки кінцеве значення змінної 
невідоме, то нова задача – це задача з фіксованим лівим і рухомим правим кінцями.
Якщо в задачі оптимального керування (3) – (4) відомі і початковий момент часу й кінцевий момент часу , то задача називається задачею з фіксованим часом. Перетворення цієї задачі введенням додаткового змінного приводить до задачі з фіксованими кінцями в такому формулюванні. Потрібно знайти керування 
, що переводить фазову точку системи (2) зі стану в момент часу у стан в момент часу , причому функціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважимо, що момент часу попадання в точку 
можна не вважати фіксованим, оскільки в силу тотожності 
попадання в точку може відбутися тільки в цей момент часу. Таким чином, до даної задачі можна застосувати теорему, відповідно до якої для одержання необхідних умов екстремуму функціонала необхідно максимізувати функцію Понтрягіна
, (5)
де 
– загальний вигляд функції Понтрягіна з теореми 1, у якій не врахована додаткова, (
)-ша змінна. Спряжена система для цієї задачі за умов 
набуває вигляду:
(6)
Вам будет интересно - Курсовая работа: Оптичні випромінюючі прилади
Має місце така теорема.
Припустимо, 
, 
– оптимальний процес для задачі з фіксованим часом. Тоді існує ненульова вектор-функція 
, що відповідає цьому процесу, така що:
1. Для будь-якого 
функція 
змінної 
набуває максимального значення в точці 
, тобто:
: 
.
2. 
, .
Похожий материал - Реферат: Монтажная микросварка
Оскільки, як і раніше, 
, то умову 2 цієї теореми достатньо перевірити в якій-небудь одній точці відрізка 
.
Розглянемо випадок, коли при фіксованому правий кінець вільний. Ця задача полягає в тому, щоб із заданого стану за заданий час 
пройти по траєкторії з довільним кінцевим станом за умови мінімізації цільового функціонала. Умови трансверсальності для цієї задачі набувають вигляду:
, 
. (7)
Для цього випадку необхідна умова оптимальності полягає в тому, щоб функція 
досягала максимального значення для кожного на оптимальному керуванні і мала місце умова (7).