Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.
Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.
Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількість всіх видів ресурсів 
позначимо їх 
. Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися 
типів товарів 
.
Технологією виробництва товарів 
назвемо набір чисел 
, що показують, яка кількість ресурсів 
необхідні для випуску однієї одиниці товару 
. Так виробництво товарів 
можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості 
а в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту .
Возможно вы искали - Контрольная работа: Математическая запись критериев оптимальности хозяйственной деятельности
Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через 
.
Нехай задані кількості 
ресурсів ,, які можуть бути використані у виробництві, тоді 
– вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор 
, що показує, яка кількість товарів буде вироблена.
Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску 
одиниць продукту описуються вектором 
, причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.
Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва , описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:
Похожий материал - Контрольная работа: Математические методы и модели
або в матричній формі вектором 
. Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді 
. Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів 
, який задовольняє обмеженням 
, 
. Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.
Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни 
на продукти виробництва 
. Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:
, , .(1)
Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор 
, що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай 
означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу
Очень интересно - Дипломная работа: Математическое моделирование роста доходности страховой компании
, , 
, .(2)
Тут нерівність означає, що вектор містить не менше повних комплектів продукції, що випускається.
Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси , доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.
Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.
2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.
Вам будет интересно - Учебное пособие: Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте
Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році 
, за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі  | 1 | 2 | … | | |
Продукти  | |||||
| 1 |  |  | … |  |  |
| 2 |  |  | … |  |  |
| … | … | … | … | … | … |
|  |  | … |  |  |
| Валовий випуск |  |  | … |  | |
| Кінцеве споживання |  |  | … |  |
Величини 
вказують обсяг продукту з номером , витрачений галуззю в процесі виробництва за звітний період. Числа 
, 
дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску) 
-ї галузі за той самий період, а значення 
– обсягу продукції -ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа , показують розподіл -го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення
, 
.(3)
Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Похожий материал - Контрольная работа: Метод Монте-Карло
Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі елементи -го стовпця таблиці 1 розділити на , то число 
розумітимемо як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа , характеризують технологію -ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під 
розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця 
, яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.
Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва одиниць продукції галузі необхідно затратити 
одиниць галузі , тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).
Під час виробництва набору продукції витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку величину