Вступ
Математичні моделі й методи, що досліджуються в даній роботі, є необхідними для вивчення споживчого поводження на ринку готової продукції, переваг індивідуального споживача, корисності й класифікації товарів, еластичності й інших властивостей попиту.
1. Математичний вступ: опуклі множини
Множину 
називають опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками 
, 
, 
вона містить і всі точки вигляду 
, де 
.
Щоб пояснити геометричний зміст поняття опуклої множини, нагадаємо спосіб задання відрізка 
між двома точками , в 
- вимірному просторі. Параметричне рівняння прямої, що проходить через точки , , має вигляд 
, де 
– напрямний вектор прямої. При 
, при 
. Коли 
змінюється в межах від 0 до 1, точка 
пробігає весь відрізок між точками і
Возможно вы искали - Лабораторная работа: Анализ накладных расходов
.
З геометричної точки зору множина 
є опуклою лише тоді, коли разом з будь-якими двома своїми точками ця множина містить і відрізок, який їх поєднує.
Для двовимірного простору прикладом опуклої множини є опуклий багатогранник. У просторі при 
опуклими множинами можуть бути куля, еліпсоїд, еліптичний параболоїд, циліндр і тощо.
Опуклу множину, всі границі якої лінійні, називають опуклою багатогранною множиною (опуклим багатогранником).
Розглянемо властивості опуклих множин:
Похожий материал - Книга: Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1. Якщо 
– точки опуклої множини 
, то точка 
, де 
, 
також належить , де 
називають опуклою комбінацією точок 
. Це окремий випадок лінійної комбінації. Дану властивість приймаємо без доказу.
2. Множина опуклих комбінацій будь-якої заданої кількості комбінацій з 
є опуклою множиною. Доказ цієї властивості не наводимо.
3. Якщо 
і 
– опуклі множини, а точки і такі, що 
й 
, то весь відрізок знаходиться в обох множинах і , тобто перетинання опуклих множин є опуклим.
Розглянемо доказ. Нехай 
, де і – опуклі множини. Розглянемо дві довільні точки і множини . Оскільки 
, то 
. З опуклості множини випливає, що весь відрізок належить . Так само, 
. Але тоді 
. Доказ завершено.
4. Сума двох опуклих множин опукла.
Очень интересно - Реферат: Велика теорема Ферма
Розглянемо доказ. Нехай 
, де 
. Тоді в і знайдуться такі елементи, що 
, 
, 
, 
. Припустимо тепер – довільне число, . Тоді
5. Основною властивістю, яка характеризує опуклі множини, є так звана властивість віддільності. Для пояснення цієї властивості розглянемо на площині замкнуту опуклу множину і точку 
. Тоді знайдеться така пряма 
, що множина і точка 
знаходяться по різні сторони від цієї прямої, тобто для будь-якої точки виконується нерівність 
, у той час, як 
.
2. Відношення переваги
Одним з основних елементів економічної теорії є споживач або група споживачів (домашнє господарство, родина). У споживача виникає задача раціонального ведення господарства (розподілу особистого бюджету). Отже, в даній задачі споживачеві необхідно з'ясувати, яку кількість кожного наявного товару або послуг він повинен придбати при заданих цінах 
і відомому доході 
. Будемо аналізувати поводження споживача й у підсумку сформулюємо оптимізаційну математичну модель поводження споживача на ринку товарів і послуг.
Вам будет интересно - Статья: Великая теорема Ферма два коротких доказательства
Під товаром або послугою розумітимемо деяке благо, що надійшло в продаж у певний час в певному місці. Припустимо, існує кінцева кількість наявних товарів , кількість кожного з них характеризується набором товарів 
, де – кількість 
-го товару (
), придбана споживачем.
Простором товарів назвемо невід’ємний ортант 
-вимірного простору, кожна точка є певним набором товарів. Нехай 
– множина, на якій визначені інтереси споживача. –множина всіх уявних наборів товарів, доступних споживачеві й придатних для нього.
Будь-які два вектори 
споживач може порівнювати та обирати з них. Цей вибір залежить від бюджету споживача, цін на товари і його смаку. Отже, вибір характеризується відношенням переваги, що записується знаком 
і читається як «переважніший або рівноцінний за». Запис 
, де 
й 
є наборами товарів з означає, що споживач віддає перевагу набору по відношенню до набора . 
виконується тільки, якщо і відношення 
не є справедливим.
Запис 
означає, що набори товарів й для споживача рівнозначні (еквівалентні, байдужні).
Розглянемо аксіоми відношення переваги:
Похожий материал - Реферат: Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа
1. Транзитивність: якщо є три набори , й 
і відомо, що 
, то 
.
2. Ненасиченість: якщо й такі, що 
і 
, то . Ця аксіома стверджує, що точки насичення споживача не існує, більший набір товарів завжди є переважнішим за менший.
3. Опуклість: для будь-яких й таких, що і маємо 
або 
для всіх 
. Ця вимога забезпечує строгу опуклість множини комбінацій наборів, не менш переважніших за даний.
3. Функція корисності споживання