Тема 1. Система линейных уравнений
В общем случае система 
линейных уравнений с 
неизвестными имеет вид
(1)
Через 
обозначены неизвестные, подлежащие определению, величины 
, называемые коэффициентами системы, и величины 
, называемые свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность чисел 
, которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую называют основной матрицей системы
.
Возможно вы искали - Контрольная работа: Линейные функции
Если 
, то матрица 
является квадратной и ее определитель 
называется определителем системы. Если определитель квадратной системы уравнений 
то система имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:
Здесь 
- определитель системы, 
определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой 
го столбца столбцом ее свободных членов.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений
Похожий материал - Курсовая работа: Логарифмические уравнения
Решение. Найдем определитель системы
= 
Далее вычислим определитель 
, заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов
Очень интересно - Контрольная работа: Логика высказываний
Аналогично находим определители 
:
Отсюда по формулам Крамера находим решение системы
Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса - методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбец свободных членов
Вам будет интересно - Учебное пособие: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
Полученную матрицу 
называют расширенной матрицей системы.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:
Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.
Перестановка строк матрицы.
Похожий материал - Курсовая работа: Методология изучения темы Признаки равенства треугольников
Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на общее произвольное число.
Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк основную матрицу системы привести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестная 
содержится только в первом уравнении, неизвестная 
- только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.
Пример 2. Решить систему уравнений
(2)