Задание 1
Вычислите 
и 
последовательности 
.
Решение.
Рассмотрим последовательность 
.
для любого натурального 
Возможно вы искали - Контрольная работа: Теория вероятностей и математическая статистика
Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность имеет верхнюю точную грань: 
.
Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань 
последовательности не существует.
Ответ. 
не существует
Задание 2
Похожий материал - Книга: Проблема Ферма для простых показателей больше 3
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что 
.
Доказательство.
Число 
называется пределом последовательности 
, если для любого положительного числа 
существует номер 
такой, что при 
выполняется неравенство 
.
Используя определение предела последовательности, докажем, что .
Возьмем любое число 
.
Очень интересно - Контрольная работа: Расчет математического ожидания и дисперсии
Если взять 
, то для всех будет выполняться неравенство 
. Следовательно, .
Доказано
Задание 3
Вам будет интересно - Контрольная работа: Роль простых чисел в математике
Пользуясь определением предела функции, докажите, что 
.
Доказательство
Число 
называется пределом функции 
при 
, если для любого числа существует число 
такое, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Используя определение предела функции, докажем, что .
Возьмем любое .
Похожий материал - Контрольная работа: Вычисление интегралов
Положим 
.