Контрольная работа: Экономико-математическое моделирование

1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Решение:

Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число α_i = min (α_{i 1} , α_{i 2} , α_{i 3} ) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой α_ij имеет максимальное значение – α = max(α₁ , α₂ , α₃ ) – это нижняя цена игры.

Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число β_j = max(α_{1 j} , α_{2 j} , α_{3 j} ) – это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В_j . Найдем минимальное из этих чисел β = min (β ₁ , β ₂ , β ₃ ) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу 1.

Возможно вы искали - Курсовая работа: Имитационное моделирование работы парикмахерской

Нижняя цена игры α = 8 равна верхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия – А₁ , для игрока В оптимальная стратегия – В₁ .

Ответ: α = β = 8, игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии (А₁ , В₁ ).

Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы

2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей

Решение:

Похожий материал - Контрольная работа: Иммитационное моделирование работы магазина

Дана игра 4 х 2 , то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как показано на рисунке 1.

Если игрок А выбирает стратегию А₁ , то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q₁ , q₂ ), будет проигрывать, в среднем, q₁ ∙α₁₁ +q₂ ∙α₁₂ = q₁ ∙(-3) +q₂ ∙(-4). Отметим на оси ОУ α₁₁ = -3, а на оси ей параллельной α₁₂ = -4 и соединим эти точки прямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А использует стратегию А₁ , а В чередует стратегии В₁ и В₂ с некоторыми вероятностями (q₁ , q₂ ). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной ей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А₂ . Точно также для А₃ и А₄ .

Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это ломанная А₃ КА₂ , выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям А₃ и А₂ . Выпишем уравнения этих прямых.

Прямая (А₃ А₃ ) проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:

Уравнение прямой (А₂ А₂ ), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в следующем виде:

Очень интересно - Реферат: Елементи дисперсійного аналізу і теорії кореляції

Рисунок 1 –Графическое решение

Точка К – точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:

Решение системы:

Следовательно, цена игры ν = 0, оптимальная стратегия для игрока В:

Вам будет интересно - Учебное пособие: Математические модели в менеджменте и маркетинге

Для игрока А, стратегии А₁ и А₄ будут не активными, игроку А не выгодно их использовать. Максимально возможный выигрыш, равный цене игры ν = 0, игрок А будет получать, используя стратегии А₂ и А₃ . Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учитывая, что А₁ и А₄ не активные стратегии, то есть р₁ = р₄ = 0:

Ответ: Цена игры ν = 0, оптимальные стратегии игроков

3. Решить геометрически следующую задачу линейного программирования:

при ограничениях:

Решение:

Похожий материал - Курсовая работа: Математические модели потребительского поведения и спроса

Построим область ограничений. Строим прямую (1): x₁ – 4x₂ - 4 = 0 по двум точкам, координаты которых удовлетворяют уравнению: (8; 1), (4; 0), как показано на рисунке 2. Проверяем, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству , для этого подставим значение произвольной точки (0; 0) в это неравенство, получим - выполняется. Аналогичным способом строим прямые (2): и (3): , выделяем «бородой» области значений x₁ , x₂ , удовлетворяющие условиям и . На рисунке 2 изображена область, удовлетворяющая представленной в условиях задачи системе. Заметим, что и одно из неравенств системы - , тогда, очевидно, функция F принимает значения интервала , но , тогда F_max = .

Ответ: F_max = .

Рисунок 2 – Графическое решение