Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида 
 |
1. ?????????? ??????. ????? N ? ????????, ???????? ? ??????? D(N) ????????? ?????????????? ???????????? U ??? ????? ?????????????? ????? R, ? ??????? ???????? R(N) ??????????? ????????? ?????????????? ???????????? V ??? ????? R, ?.?.
 |
? ?????????? ????? ??????????????, ??? ? ?????? ?????
существует производная Гато 
оператора N, определяемая формулой
(1)
Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида
(2)
Возможно вы искали - Дипломная работа: О категории множеств
где 
-ограниченная область в
, с кусочногладкой границей 
в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.
Зададим область определения оператора N равенством
(3)
Здесь 
- заданные функции, 
- неизвестная функция. Числа 
зависят соответственно от 
. Если - четны, то 
При нечетном полагаем 
Похожий материал - Дипломная работа: О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Обозначим
Введем классическую билинейную форму вида 
где 
(4)
 |
????? ????????, ??? ????????? (2) ????????? ?????? ???????????? ???????????? ?? ????????? D(N), ???????????? ?????????? ????? (4), ???? ?????????? ?????????? FN: D(FN )=D(N)?>R ?????, ???
Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Очень интересно - Реферат: Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения
Обозначая через 
замыкание области 
, будем предполагать, что 
- выпуклое множество, 
, для любых фиксированных элементов 
функция 
Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности
 |
??????? ?????????? ? ???? ?????? ????? ???:
где F0 произвольный фиксированный элемент из R.
Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива
Вам будет интересно - Контрольная работа: Область определения функции
Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Современные качественные исследования устойчивости
Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].
2.Примеры.
 |
?. ??????????????? ???????????????? ????????? ? ?????????????? ??????????? ???? (??????? ?????? ????????? (2))
с граничными условиями
Похожий материал - Дипломная работа: Обобщение классических средних величин
Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим
Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.
С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде