1. Диференціальні операції другого порядку
Нехай в області 
задані скалярне поле 
і векторне поле 
, причому функції 
мають в області неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді 
і 
є диференційовними векторними полями, а 
– диференційовним скалярним полем.
До векторних полів і можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля 
– операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:
.
Операцію 
називають оператором Лапласа і позначають також символом 
:
Возможно вы искали - Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика
.
З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді
.
Враховуючи, що
,
Похожий материал - Контрольная работа: Теорія і практика обчислення визначників
дістаємо
.
Функція 
, яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа 
, називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція 
є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд 
, при 
задовольняє рівняння Лапласа:
(потенціальне векторне поле 
є безвихровим) і
Очень интересно - Курсовая работа: Моделирование движения парашютиста
(векторне поле 
є соленоїдальним).
1. Дві інші повторні операції 
і 
пов’язані співвідношенням
, (1)
де 
– вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій 
.
Вам будет интересно - Контрольная работа: Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними
2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів
Довільне неперервно диференційовне векторне поле 
може бути зображено у вигляді
, (2)
де 
– потенціальне поле, 
– соленоїдальне поле.
Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле є градієнтом деякого скалярного поля : 
. Тому для вектора із рівності (2) маємо
Похожий материал - Курсовая работа: Нахождение минимального остовного дерева алгоритмом Краскала
. (3)
Щоб векторне поле було соленоїдальним, воно має задовольняти умову 
, звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо
.
Таким чином, для скалярного потенціала поля отримуємо рівняння