Постановка задачі. Потрібно знайти значення х 1, х 2, … , хn , що задовольняють таким співвідношенням: 
.
Тут aij (i = 1, 2, … , m ; j = 1, 2, … , n ) і bk (k = 1, 2, … , m ) – задані числа.
При цьому:
; 
; 
.
Матриця А називається головною матрицею системи, вектор b – вектором-стовпцем правих частин, вектор x – вектором-стовпцем невідомих.
Використовуючи ці позначки, можна систему записати в матричній формі: Ах = b .
Возможно вы искали - Учебное пособие: Алгоритмічні проблеми
Якщо b 1 = b 2 = ¼ = bm = 0, то система рівнянь називається однорідною . Якщо хоча б одне з bk (k = 1, 2, ¼ , m ) відмінне від нуля, то система називається неоднорідною .
.
Матриця 
називається розширеною матрицею системи.
Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною .
При цьому система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною , а більше одного розв’язку – невизначеною .
Похожий материал - Курсовая работа: Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора
Якщо система не має розв’язків, то вона називається несумісною .
При розв’язуванні систем лінійних рівнянь має бути знайдена відповідь на три запитання:
А. Чи сумісна система?
В. Чи визначена система?
С. Як знайти розв’язок (чи розв’язки) системи, якщо вони існують?
Очень интересно - Курсовая работа: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
Правило Крамера. Якщо неоднорідна система рівнянь невироджена (detА ¹ 0), то система визначена, тобто має єдиний розв’язок, і його можна знайти за формулами Крамера: 
(k = 1, 2, … , n ) де Dk – визначник матриці, яку можна одержати, якщо в матриці А системи k- й стовпець замінити на стовпець вільних членів.
Ранг матриці. З розв’язуванням систем рівнянь безпосередньо пов'язане поняття рангу матриці. Ранг матриці – це найвищий порядок її мінора, відмінного від нуля.
Для того щоб знайти ранг матриці, важливо орієнтуватися в тому, які перетворення з матрицею можна робити, не змінюючи при цьому її ранг:
1) транспонування;
2) перестановка двох рядків (стовпців);
Вам будет интересно - Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
3) множення всіх елементів рядка (або стовпця) на число a¹ 0;
4) додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповіднихелементів іншого рядка (стовпця);
5) вилучення нульового рядка (стовпця);
6) викреслення рядка (стовпця), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців).
Однорідні системи. Розглядається однорідна система лінійних рівнянь з n невідомими: Ах = 0.
Похожий материал - Контрольная работа: Застосування подвійних інтегралів
Якщо rangА = n (detА ¹ 0), то система визначена і має тільки тривіальний розв’язок: x 1 = x 2 = … = xn = 0.
Якщо rangА < n (detА = 0), то система має не тільки тривіальні розв’язки. При цьому всі розв’язки однорідної системи рівнянь утворюють лінійний простір L і dim L = n – rangА .
Щоб знайти базис простору розв’язків однорідної системи рівнянь, треба:
1.Знайти базисний мінор матриці А .