1. Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами
Нехай 
і 
два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення 
, яке ставляє у відповідність кожному вектору 
простору деякий вектор 
простору 
, будемо називати оператором 
, діючий із в . Якщо 
є образом вектора 
, то пишуть 
.
Оператор називається лінійним, якщо виконуються дві умови:
1. 
(властивість адитивності);
2. 
(властивість однорідності);
Возможно вы искали - Курсовая работа: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
Тут 
довільно взяті вектори простору , 
довільно комплексне число.
Позначимо через 
множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і 
будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору простору 
. Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор 
такий, що для будь – якого вектора 
простору
.
Під добутком лінійного оператора на комплексне число 
розуміють оператор 
такий, що для любого вектора простору
Похожий материал - Курсовая работа: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
Неважко переконатися в тому, що оператори і лінійні.
Оператор 
називається нульовим, якщо для будь – якого вектору простору 
.
Щоб переконатися, що оператор лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів 
простору мають місце рівності 
і 
. Так як будь – якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор 
, то 
. Як наслідок, - лінійний оператор.
Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору 
. Оператор – називається протилежним оператором , якщо 
. Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із 
і що лінійний оператор.
Введені на множині лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:
Очень интересно - Контрольная работа: Застосування подвійних інтегралів
1.
,
2. 
,
3. існує один лінійний оператор 
такий, що для будь – якого лінійного оператора із 
4. для кожного оператора 
існує єдиний оператор – такий, що .
Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини
випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості 
.
Вам будет интересно - Курсовая работа: Интегралы, зависящие от параметра
Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.
2. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V
В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .
Назвемо тотожнім (одиничним) оператор 
такий, що для любого вектора простору 
. Очевидно, 
, 
, для любих 
. З цього випливає, оператор – лінійний і, тому, 
. Неважко упевнитися в тому, що оператор – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора з 
, існує ще один тотожний оператор 
, тоді для будь-якого 
будемо мати 
, 
, очевидно, 
, тобто 
.
Введемо операцію множення операторів. Нехай 
та 
– два будь-яких лінійних оператора з , а 
– довільний вектор простору 
. Очевидно вектор 
, тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор буде перетворений до вектору 
. Оператор, який приводить довільний вектор простору у вектор , називається добутком операторів та і позначається так: 
. За означенням добутку операторів і 
для будь-якого вектору . Легко перевірити, що 
, 
, де – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто 
. Зауважимо, що 
.
Похожий материал - Курсовая работа: Интеграционный метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических уравнений
Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості
1) 
, 3) 
,
2) 
, 4) 
.
Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай – довільний вектор простору . Для довільного вектору простору за означенням добутку і суми операторів має