1. Идея и возможности вейвлет-преобразования
вейвлет преобразование редактирование дискретный
Вейвлет-технологии начали серьёзно развиваться в 80–90 годы прошлого века, хотя первый тип вейвлета был описан ещё в 1909 году учёным Хааром. Многие типы и семейства вейвлетов были названы именами учёных, которые внесли большой вклад в разработку теоретических основ вейвлетов: Мейер, Добеши, Маллат.
Вейвлет анализ предлагает следующий логический шаг: метод выбора окна переменного размера. Вейвлет анализ позволяет использовать большие временные интервалы, где нам нужна более точная информация о низкой частоте, и более короткие области, когда нам нужна информация о высокой частоте.
Ряд Фурье использует в качестве базиса синусоиды, которые предельно локализованы в частотной области (вырождаются на спектрограмме в вертикальную линию), и вообще не локализованы во временной области.
Возможно вы искали - Лабораторная работа: Графическое представление графа
Противоположный пример – импульсная базисная дельта-функция d ( t ). Она чётко локализована во временной области и потому идеально подходит для представления разрывов сигнала. Но она не несёт информации о частоте сигнала и потому плохо приспособлена для представления сигналов на заданном отрезке времени.
Вейвлеты занимают промежуточное положение между синусоидой и дельта-функцией и образуют набор функций, удовлетворяющих определённым условиям (рассмотрим дальше).
Вейвлеты характеризуются своим временным и частотным образом.
Совокупность вейвлетов, напоминающих модулированную синусоиду, способна отражать локальные изменения сигналов.
Сравнение представления сигналов в различных областях
Похожий материал - Курсовая работа: Динамические структуры данных. Решение задач. Стек. Очередь. Дек
Одним главным преимуществом, которое предоставляет вейвлет, является возможность представлять локальный анализ, т.е. анализировать локализованную область в большом сигнале.
График коэффициентов Фурье (например, полученный с помощью команды fft) этого сигнала не показывает ничего особенно интересного: плоский спектр с двумя пиками, представляющими одну частоту. Однако график вейвлет коэффициентов ясно показывает точное расположение во времени рассмотренного выше разрыва.
Очень интересно - Курсовая работа: Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ
Вейвлет анализ способен выявить следующие особенности данных, которые упускают другие методы анализа сигналов: точки разрыва, резкие нелинейности в высших гармониках и самоподобие.
2. Свойства вейвлетов
Вейвлет («короткая волна», «всплеск») – это волновая форма сигнала эффективно ограниченной длительности, которая имеет среднее значение ноль.
Сравним вейвлет с синусоидальной волной, которая является основой анализа Фурье. Синусоиды не имеют ограниченной длительности – они продолжаются от минус до плюс бесконечности. И где синусоиды гладкие и предсказуемые, вейвлеты стремятся быть неровными и асимметричными.
Вам будет интересно - Курсовая работа: Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ
Анализ Фурье состоит из разложения сигнала на синусоидальные волны различных частот. Аналогично, вейвлет анализ это разложение сигнала на сдвинутые и масштабируемые версии первоначального (или материнского) вейвлета.
Можно интуитивно увидеть, что сигналы с резкими изменениями должны анализироваться лучше с помощью неравномерного вейвлета, чем с помощью гладкой синусоиды, а также отдельные черты сигналов могут быть описаны лучше с помощью вейвлетов, которые имеют локальную протяженность.
Математически процесс анализа Фурье представлен преобразованием Фурье :
,
Похожий материал - Курсовая работа: Исследование неявного метода Эйлера для линейной системы ОДУ с постоянным и переменным шагом
которое является суммой по всему времени сигнала f ( t ) умноженного на комплексную экспоненту.
Результатами этого преобразования являются коэффициенты Фурье F ( w ) , умножение которых на синусоиду соответствующей частоты даст синусную компоненту исходного сигнала. Графически этот процесс выглядит так:
(Сигнал) (Преобразование Фурье) (Синусные компоненты исходного сигнала)