п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.
Определение. Системой натуральных чисел (системой Пеано) называется алгебра 
, где 
- бинарные операции, 
- унарная операция (функция «следования»), 
- выделенный элемент в множестве 
, для которой выполнены следующие аксиомы:
Для 
, 
(элемент 
называется следующим за 
).
Для 
, 
, 
.
, 
.
Возможно вы искали - Реферат: Элементы сферической геометрии
Для 
, 
.
, 
.
Для , 
.
Аксиома индукции: Пусть 
. Если множество 
удовлетворяет условиям:
а) 
;
Похожий материал - Статья: Солнечная активность и её влияние на Землю и человека
б) для , 
;
то 
.
Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из аксиом системы не является следствием других аксиом.
Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свойства натуральных чисел.
п.2. Теоремы математической индукции.
Очень интересно - Реферат: Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел
Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Пусть 
- одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:
- истина.
(- истина ®
- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .
Доказательство. Обозначим через множество всех тех , для которых истина. Проверим, что удовлетворяет условиям аксиомы индукции.
Вам будет интересно - Реферат: Метеориты - осколки иных миров
Т.к. - истина, то .
Если 
, то - истина и по второму условию теоремы индукции - истина. Поэтому 
.
Множество удовлетворяет условиям аксиомы индукции. Поэтому .
Обозначение. Множество целых чисел 
состоит из натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным.
Для 
обозначим 
.
Похожий материал - Статья: Методические аспекты построения и анализа электродинамических уравнений Максвелла
Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на 
, где , который удовлетворяет условиям:
- истина.
(- истина ®- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .