П лан
- Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
- Характеристичне рівняння
- Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами
1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами
Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.
1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду
Возможно вы искали - Реферат: Задачі геометричного і фізичного характеру що приводять до диференціальних рівнянь Диференціал
(12.38)
де і - сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок рівняння (12.38) у вигляді експоненти де - поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить , а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).
Справді, запишемо та :
Підставляючи ці похідні, а також функцію в рівняння (12.62), одержимо
Похожий материал - Реферат: Основні шляхи забезпечення безпеки інформації
Оскільки маємо
(12.39)
Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:
1) і - дійсні, причому не рівні між собою числа ;
2) і - комплексні числа ( );
Очень интересно - Курсовая работа: Захист програмного забезпечення
3) і - дійсні рівні числа
Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.
1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:
Відповідні частинні розв’язки та
лінійно незалежні, бо
Вам будет интересно - Реферат: Розробка та відлагодження програмного забезпечення віртуальної лабораторії на базі програмно-відладочного
Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд
(12.40)
де і - довільні сталі.
2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки і є комплексними функціями дійсного аргументу:
Похожий материал - Курсовая работа: База даних фільмотеки розробка проекту
або
Неважко переконатися, що функція та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то та також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень: