1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку
1
Возможно вы искали - Реферат: Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціа
дедійсні числа.
Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді , де - стала(дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію в рівняння 1, дістанемо
Оскільки то
2
Похожий материал - Реферат: Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння
Отже, якщо буде коренем рівняння 2, то функція буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.
Позначимо корені характеристичного рівняння через можливі три випадки:
І. і дійсні і різні числа
ІІ. і комплексні числа);
ІІІ. і - дійсні і рівні числа ;
Очень интересно - Реферат: Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку
Розглянемо кожен випадок окремо.
І. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння 1 є функції
Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при
.
Загальний розв’язок рівняння 1 знаходять за формулою .
ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:
Вам будет интересно - Контрольная работа: Складність деяких методів експоненціювання точки кривої
Підставивши значення та у формулу ,знайдемо розв’язки
За формулою Ейлера
Похожий материал - Курсовая работа: Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
маємо
Зауважимо ,що коли функція є розв’язком рівняння 1, то розв’язками будуть також функції та. Дійсно, підставивши функції в рівняння 1, дістанемо: