П лан
- Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія)
- Лінійне однорідне рівняння. Структура загального розв’язку
- Лінійне неоднорідне рівняння. Структура загального розв’язку
- Метод варіації довільних сталих
1. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Лінійним диференціальним рівнянням -го порядку
називається рівняння вигляду ,
(12.30)
Возможно вы искали - Реферат: Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку
причому - задані неперервні функції.
Зауважимо, що невідома функція та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені. Якщо в рівнянні (12.30) права частина - тотожний нуль, тобто то рівняння
(12.31)
називається лінійним однорідним рівнянням , яке відповідає рівнянню (12.30).
Похожий материал - Контрольная работа: Складність деяких методів експоненціювання точки кривої
2. Лінійне однорідне рівняння
Позначимо для зручності ліву частину рівняння (12.30) через , де диференціальний оператор
тоді рівняння (12.30) можна подати у вигляді
(12.30а)
Очень интересно - Курсовая работа: Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
а рівняння (12.31) – у вигляді
(12.31а)
Безпосередньо перевіряється, що оператор є лінійним, тобто:
а)
б) .
Вам будет интересно - Контрольная работа: Послідовність незалежних випробувань
Наведемо властивості розв’язків однорідного рівняння.
10 . Сума розв’язків та рівняння (12.31) буде розв’язком того самого рівняння.
20 . Якщо розв’язок рівняння (12.31) помножити на сталу , то отримаємо розв’язок цього самого рівняння.
30 . Лінійна комбінація розв’язків і рівняння (12.31) буде розв’язком того самого рівняння.
Доведемо властивість 10 . Оскільки то Рекомендуємо самостійно довести інші властивості (зауважимо, що властивість 3 є наслідком перших двох).
Похожий материал - Курсовая работа: Застосування координатного методу в стереометрії
Аналогічно тому, як формулюється поняття лінійної залежності (незалежності) векторів, вводиться означення лінійної залежності (незалежності) функцій.
Кілька функцій називаються лінійно залежними , якщо одна з них є лінійною комбінацією інших. В противному разі ця система функцій лінійно незалежна. Дві функції та будуть лінійно незалежними, якщо їх відношення не є сталою величиною в розглядуваному проміжку зміни . Для того, щоб функцій були лінійно незалежними в деякому проміжку зміни , необхідно і достатньо, щоб їх визначник Вронського
був відмінний від нуля в будь-якій точці проміжку неперервності коефіцієнтів рівняння (12.31). У теорії диференціальних рівнянь доводиться відмінність від нуля визначника Веронського на всьому інтервалі неперервності у разі відмінності його від нуля в якій-небудь точці цього інтервалу.