П лан
- Основні теореми диференціального числення
- Теорема Ролля
- Теорема Лагранжа
- Теорема Коші
- Правило Лопіталя
- Формула Тейлора для многочлена
- Формула Тейлора для довільної функції
- Формула Тейлора для функції двох змінних
6.12. Основні теореми диференціального числення
У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.
6.12. 1. Теорема Ролля
Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:
Возможно вы искали - Лабораторная работа: Представлення і перетворення фігур
1) визначена і неперервна на відрізку :
2) диференційована в інтервалі ;
3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .
Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .
Д о в е д е н н я.
Похожий материал - Реферат: Классические методы безусловной оптимизации
Випадок 1. Функція на відрізку є сталою:
.
Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.
Випадок 2. Функція не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше – через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .
Через те, що , то хоча б одне з чисел або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій
Очень интересно - Контрольная работа: Контрольная работа по Экономико-математическому моделированию
.
Покажемо, що .
Справді, оскільки є найменше значення функції на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .
Тоді для всіх справджуватимуться нерівності
при ,
Вам будет интересно - Статья: Применение движений к решению задач
при .
Розглянемо відношення , для якого справедливі нерівності
при ,
при ,
причому .
Похожий материал - Книга: Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика
Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому
, .
Звідси випливає, що . Теорему доведено
З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):