1. Комплексні числа
1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа
Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний. Вказані обставини приводять до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.
Очевидно, що перш за все треба ввести таке число, щоб його квадрат дорівнював –1. Позначивши його через , одержимо . Звідси . Величина називається умовною одиницею. Сам термін “уявне число” виник історично і зберігався до цього часу, хоч тепер уже ясно, що ці числа цілком реальні. Користуючись ознакою уявної одиниці, можна скласти таблицю степенів числа :
Возможно вы искали - Реферат: Комплексні числа Поняття про комплексне число
де - ціле додатне число.
Числа вигляду , де - дійсне число, називаються уявними числами, а числа вигляду - комплексними , де i – дійсні числа.
Побудуємо дві взаємно перпендикулярні осі, одну з яких назвемо уявною, а іншу – дійсною. Відклавши на дійсній осі відрізок довжиною , а на уявній – відрізок довжиною , можна побудувати точку (рис. 8.1), яка і є зображенням комплексного числа. При маємо зображення дійсного числа на осі (дійсна вісь), а при маємо зображення чисто уявного числа на осі (уявна вісь). Площина називається комплексною. Кожній точці на комплексній площині відповідає одне й тільки одне комплексне число , і навпаки, кожному комплексному числу відповідає одна й тільки одна точка комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор
Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна відповідність.
Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливає, що числа і рівні тоді і тільки тоді, коли і . Звідси, як
Похожий материал - Реферат: Графы Цельские
Рис.8.1 наслідок, маємо ,
якщо і . Поняття “більше” (>), “менше” (<) для комплексних чисел не введено.
Приклад. За яких умов комплексні числа і рівні?
Р о з в ’ я з о к. З умови рівності двох комплексних чисел одержуємо:
Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо і . Отже, задані комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли 1) і 2) .
Очень интересно - Реферат: Графы д Арманьяк
Розглянемо дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
а). Додавання і віднімання. Сумою двох комплексних чисел і називається число , а їх різниця запишеться так: .
Додавання і віднімання комплексних чисел здійснюється за правилами додавання і віднімання векторів (рис.8.2).
б). Множення двох комплексних чисел і здійснюється так само, як і множення двочленів:
Вам будет интересно - Реферат: Сеньоры, графы и герцоги де Гиз
Числа вигляду і називаються комплексно
Рис.8.2
спряженими . Їх добуток є дійсне число
в). Ділення. Нехай потрібно число поділити на число , тобто
Похожий материал - Реферат: Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл
Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.
г). Піднесення комплексного числа до цілого додаткового степеня здійснюється так само, як піднесення двочлена до степеня з наступною зміною степенів за формулами: