Цель работы: хотя уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го – 7-го класса, где они проходят самые азы уравнений с модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досканального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
1. Введение:
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, програмировании и других точных науках.
В архитектуре-это исходная еденица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике-это термин, применяемый в различных облостях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.
Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.
2. Понятия и определения
Возможно вы искали - Реферат: Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-это равенство, сродержащее переменные.
Уравнение с модулем-это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: |x|=1
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно:
Похожий материал - Реферат: Аппроксимация функций
Модуль-абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой.
3. Доказательство теорем
Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа a, 
Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа 
равна большему из двух чисел a или -a.
Очень интересно - Реферат: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Доказательство
1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a < 0 < a. Отсюда следует, что -a < a.
Например, число 5 положительно, тогда -5 - отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.
В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и - a.
2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a < - a, т. е. большим числом является -a. По определению, в этом случае, |a| = -a - снова, равно большему из двух чисел -a и a.
Вам будет интересно - Реферат: Асимптота
Следствие 1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.
В самом деле, как 
, так и 
равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.
Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства 
Умножая второе равенство 
на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: 
справедливые для любого действительного числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: 
Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из 
Похожий материал - Реферат: Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
В самом деле, если 
то, по определению модуля числа, будем иметь 
С другой стороны, при 
значит |a| = 
Если a < 0, тогда |a| = -a и 
и в этом случае |a| =
Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на
Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.